Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 37

35

53)

54)

55)

56)

5'^) 5S)

mede correspondeerende vergelijkingen, heeft men een nummcringsprincipe verkregen voor de exacte beginstukken der oneindig voortloopende decimale ontwikkelingen aller reëele algebraïsche getallen en wel heeft de n-de decimale breuk Bn uit deze rij minstens n decimalen (in de rij zullen dezelfde algebraische getallen herhaalde malen door een beginstuk vertegenwoordigd zijn, doch dat stoort den bewijsgang niet). Men vorme nu de decimale breuk o, a^ a2 as ..., waarin a^ voor n = 1, 2, ... volgens een willekeurig vast te leggen principe gekozen wordt, maar in ieder geval zoodanig, dat an afwijkt van de n-de decimaal bn der n-de breuk Bn uit de zooeven geconstrueerde rij (diagonaalmethode) en niet van zekeren index af steeds gelijk is aan nul. De oneindig voortloopende tiendeelige breuk o, aj ao 83 ... is dan een ondubbelzinnig vastgelegd getal, dat zeker transcendent is, wijl geen beginstuk zijner decimale ontwikkeling in de rij der beginstukken B^, Bo, ... voorkomt. e = 2,718 ... beteekent hier e.v. de basis van het stelsel der natuurlijke logarithmen, 71 ~ 3,1415 ... het getal van Archimedes. Deze getallen zijn inderdaad transcendent, zooals omstreeks 1880 werd bewezen: voor e door Hermite, voor ,-7 door Lindemann. (Literatuur in D.A., Kap. I V ) . Met een soortgelijk betoog als dat onder ^'-) toont H. Lebesgue (Sur certaines demonstrations d' existence; Bull, de la Soc. Math, de France 45 (1917), blz. 132^144, speciaal blz. 135) aan, dat men kan ,,nommer un nombre reel" met de eigenschap E op grond der genoemde stelling. Hij geeft echter toe, dat dit ,,nommer" niet hetzelfde is als ,,calculer'* (blz. 136). Inderdaad, daartoe toch zou noodig zijn, dat men van de getallen van R het beginstuk hunner decimale ontwikkeling kon opschrijven. Wegens de uitgebreidheid der betreffende literatuur, noem ik slechts de korte, doch duidelijke ontwikkeling van deze maattheorie door ƒ. Wolff, Metriek van puntverzamelingen; Lebesö'ue-integratie. Mathematica B (Zutphen) 4 1935/1936, blz 1 — 12, 33—50, 65—71. Voor literatuur zie men het uitgebreide artikel in de onder -i) geciteerde Encyclopadie van L. Zoretti— A. Rosenthal, Die Punktmengen (Bd. II, 3, 2, blz. 852 e.v.). Deze stelling is bevat in een diepere van Lebesgue {een bewijs dezer laatste bijv. in het onder 55) a.w. van Wolff) en werd in de geciteerde gedaante op eenvoudige wijze bewezen door Knopp. (Literatuur in D.A., Kap. III § 5). Zie bijvoorbeeld: E. Borel, Legons sur la theorie des fonctions (Paris 19142), blz. 194 e.v. Verdere literatuur in D.A. Kap. IX § 6. Zie echter het interessante artikel van K. Mahler, Über die Dezimalbruchentwicklung gewisser Irrationalzahlen. Mathematica fi (Zutphen) 6 (1937/1938), blz. 22—36).

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen