Is meetkunde ruimteleer? - pagina 12

de wiskunde. Aan de andere kant heeft zij echter remmend gewerkt op de verbreiding van de nieuwe ideeën. Had men toch de nietEuclidische meetkunde enkel als een wiskundig systeem ingevoerd, dus los van onze ruimte, dan zou ze zeker spoediger erkend zijn geworden. D e critiek van de filosofen, die nu zoo weinig mild ge­ weest is, zou dan waarschijnlijk achterwege gebleven zijn. Slechts enkele decenniën na het bekend worden van de nietEuclidische meetkunde van LOBATSCHEWSKY en BOLYAI wordt het onderzoek betreffende de grondslagen van de meetkunde opnieuw een schrede vooruitgebracht door het werk van BERNARD RIEMANN ( 1 8 2 6 — 1 8 6 6 ) . In 1 8 5 4 houdt deze in verband met een verkregen docentschap in Göttingen een lezing over de hypothesen, die aan de meetkunde ten grondslag liggen. Als deze voordracht in druk verschijnt, wat pas in 1 8 6 7 , na de dood van RIEMANN, geschiedt, baart zij veel opzien. In zijn ,,Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik" vertelt KLEIN van de buitengewoon groote indruk, die RIEMANN'S gedachtengang op hem heeft gemaakt, hoewel veel hem toen nog onbegrijpelijk voorkwam. Uit het werk van RIEMANN blijkt, zooals we zullen zien, dat hij evenals GAUSS als taak van de meetkunde de leer van onze ruimte voor oogen heeft gehad. Doch vooraf iets over de nieuwe ideeën, die in de genoemde voordracht ontwikkeld zijn. Zoowel de Euclidische als de niet-Euclidische meetkunde is op­ gebouwd uit een aantal axioma's, die zekere betrekkingen tusschen de grondbegrippen vastleggen. In hoeverre een dergelijk samenstel van betrekkingen echter noodig of zelfs mogelijk is, ziet men niet direct in. Ook de verhouding van de aangenomen betrekkingen ten opzichte van elkaar blijft daarbij in het duister. Dit vindt zijn oor­ zaak, aldus RIEMANN, hierin, dat men te weinig aandacht geschonken heeft aan het begrip meerdimensionale ruimte. Hij gaat dan ook uit van een abstracte n-dimensionale ruimte. Een punt is dan bepaald door n getallen ( x ) , coördinaten van het punt genoemd. Verder wordt voor elk punt een algemeene uitdrukking opgesteld voor de lengte van een klein lijn-elementje in dat punt. Een dergelijk lijnelement is bepaald door n coördinatenverschillen. RIEMANN kiest nu voor de uitdrukking voor de lengte van een lijn-element de wortel uit een altijd positieve, geheele, homogene quadratische functie van de coördinatenverschillen (ds = ahi d x dx*)« De coëfficiënten van deze quadratische vorm zullen in het algemeen van het gekozen punt afhangen, dat wil dus zeggen, zijn functies van de coördinaten. De meetkunde van een dergelijke abstracte ruimte, tegenwoordig Riemannsche ruimte genoemd, blijkt nu geheel h

2

12

h

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen