Existentiebewijzen in de wiskunde - pagina 10

8 denken {Rietnann past op zekere uitdrukking de variatierekening toe en ook Steiner „varieerde", zooals wij zagen, zijn krommen), schuilt echter een lacune, analoog aan die, welke zooeven werd besproken. Dit werd omstreeks 1860 opgemerkt door Weierstrass 27). De existentiestellingen van Rietnann met hun vérstrekkende toepassingen stonden daardoor op losse schroeven en het principe van Dirichlet raakte in discrediet. Ook die mathematici, die aan de juistheid der stellingen bleven gelooven, gaven de ontoereikendheid van Rietnanns bewijs toe 28). Onder de physici nam men een ander standpunt in, getuige een opmerking van Helmholtz 2»): ,,Für uns Physiker bleibt das Dirichletsche Prinzip ein Beweis", waarbij Felix Klein fijntjes aanteekent, dat Helmholtz blijkbaar onderscheidde tusschen bewijzen voor mathematici en zulke voor physici 30). Nu kan inderdaad physische aanschouwing bij wiskundige existentieproblemen een belangrijke rol spelen. Ziet men bijvoorbeeld op grond van natuurkundige wetten in, dat de overigens misschien niet nader bekende functie, welke bij een of andere beweging de plaatsverandering van een stoffelijk punt met den tijd aanduidt, aan een zekere differentiaalvergelijking gehoorzaamt, dan is het op physisch standpunt duidelijk, dat er een oplossing van die differentiaalvergelijking bestaat. De mathematicus zal dit wel is waar aanvaarden als een vingerwijzing, niet als een existentiebewijs. Zelfs als hij, aannemend dat er een oplossing bestaat, een functie kan opstellen, die deze oplossing moet voorstellen, dient hij nog te controleeren, of de functie inderdaad aan de differentiaalvergelijking voldoet. De existentiestellingen van Rietnann werden omstreeks 1870 voor een belangrijk deel gered door Schwarz s i ) , een leerling van Weierstrass, maar daartoe moest deze omzien naar geheel andere wegen; het gelukte hem met zijn zoogenaamde alterneerende methode: Voor den cirkel was, zooals we zagen, het randwaardeprobleem opgelost; door nu anders gevormde gebieden dakpansgewijze stapje voor stapje met cirkels te overdekken, gelukte het Schwarz het probleem ook voor zulke gebieden op te lossen 32). Later verschenen nog vele andere oplossingsmethoden (o.a, van Neumann en van Poincaré), waarop ik niet wil ingaan ^3). doch pas omstreeks 1900 gelukte het, en wel aan Hilbert, om de grondgedachten van het sinds de kritiek van Weierstrass verworpen principe van Dirichlet in eere te herstellen, door ze te gebruiken tot den opbouw van een streng bewijs 34). De alterneerende methode van Schwarz vertoont in opzet eenige gelijkenis met de zoogenaamde methode der successieve approximaties, die, sinds Picard zulk een gewichtige rol in de theorie der differentiaalvergelijkingen speelt 35) _ en de grondgedachte van beide methoden vindt men reeds in een oud procédé der algebra: de regula

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen