Discreet of continu - pagina 19

DISCREET OF CONTINU

17

De maattheorie heeft delen der klassieke wiskunde volkomen hernieuwd. Voor de waarschijnlijkheidsrekening, van ouds zich bezighoudend met typisch discrete vragen over kogeltjes in urnen en dergelijke, bleek zij een bevredigend fundament, dat ook in staat is de leer der meetkundige waarschijnlijkheden mede te dragen. Zo kan men de 0-of-l-wet aldus formuleren: de kans, dat een punt de eigenschap E bezit is O of 1. De integraalrekening werd door de maattheorie van Ijcbesgue als herboren; de problemen van de theorie der Fourierreeksen en der orthogonale functiesystemen zien we door haar pas tegen hun eigenlijke achtergrond. Had men zich in de klassieke analyse zoveel mogelijk gehouden aan de continue functies, en discontinuïteiten, waar optredend, als onvermijdelijke uitzonderingen aanvaard, in de moderne reële analyse, staat het begrip van de discontinue functie van het begin af zozeer op de voorgrond, dat als het ware een afgrond gaapt tussen haar en haar zuster, de complexe functietheorie, die het begrip der continue functie nog te ruim achtend, zich beperkt tot de studie der analytische functies.

Het is duidelijk, dat waar in de wiskunde twee noties optreden van zo verschillend karakter als die welke vanmiddag ons onderwerp uitmaken, zulks in die wetenschap wel aanleiding moet geven tot een belangwekkend samenspel. Het merkwaardige in dit geval is, dat waar enerzijds de problemen het discrete betreffend, het helderst voor onze geest staan, juist de methoden van wijde en algemene strekking worden ontleend aan de notie van het continue: geleidelijke overgangen lenen zich voor zulke methoden beter dan sprongen. Zo is het verklaarbaar, dat in het domein der zuivere getallenleer diepe problemen slechts konden worden opgelost door de toepassing van machtige hulpmiddelen uit de zoeven genoemde leer der complexe functies, waar bij uitstek het continuïteitsbegrip hoogtij viert. De vraag, om bij benadering aan te geven hoeveel ondeelbare getallen in de rij der natuurlijke getallen zijn gelegen beneden een natuurlijk getal n, die Gauss aanleiding gaf tot een vermoeden, dat pas in 1896 door de beroemde bewijzen van Hadamard en de la Vallée-Poussin werd bevestigd, levert daarvan een sprekend voorbeeld. Tot voor kort faalde iedere poging om van deze priemgetalstelling een zogenaamd elementair bewijs te vinden. Het werd dan ook als een ontdekking van

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Terug naar resultaten Printen