Discreet of continu - pagina 20

18

J. F. KOKSMA

de eerste rang beschouwd, toen Selberg en Erdös ^3) er in slaagden, een dergelijk bewijs te leveren. Een andere belangwekkende illustratie ziet men in het uitgebreide gebied der diophantische problemen. Analytisch betekenen zij de vraag naar de oplossingen in gehele getallen van gegeven stelsels vergelijkingen en ongelijkheden. Meetkundig verbeeld beduidt dit de vraag naar het al of niet liggen van regelmatig over één of andere meerdim.ensionale ruimte verdeelde discrete rocsterpunten, op of dichtbij bepaalde in die ruimte gelegen continua. In deze tak van wiskunde introduceerde reeds Hermite bij typisch discrete problemen de continue variabele. Het was met name Minkowski, die in zijn meetkunde der getallen, hier een aantal op meetkundige intuïtie gebouwde fraaie en fundamentele methoden verzon, waar het continue en het discrete een bekoorlijk samenspel vertonen, dat juist in onze tijd een uitgebreide kring van wiskundigen opnieuw is gaan boeien. Als men het allereenvoudigste uit deze klasse van problemen nader onder de loupe neemt, te weten het eendimensionale lineaire homogene probleem, heeft men het samenspel als het ware in de oervorm : de vraag, op welke wijzen een op de getallenrechte gegeven reëel getal te benaderen is door rationale getallen. Door generalisering komt men tot verdere vragen, bij voorbeeld, die naar de eigenschappen der transcendente getallen, naar de asymptotische verdeling modulo één van getallenrijen en vele andere, die alle te vangen zijn in de zoeven gegeven algemene formulering. Bij de leer der transcendente getallen treft men een veelheid van analytische methoden aan, dus berustend op de notie van het continue; bij elk transcendentiebewijs echter speelt op een essentieel punt het discrete zijn merkwaardige rol. Algebraïsch heet het getal, als het wortel is van een hogeremachtsvergelijking met gehele coëfficiënten, transcendent, indien zulks niet het geval is. De definitie van het algebraïsch getal ligt in de sfeer der gehele getallen, wat zich uit in het feit, dat bepaalde uitdrukkingen in de theorie der algebraïsche getallen (samenhangend met symmetrische functies van de wortels der definiërende vergelijking) slechts gehele waarden kunnen hebben. De meeste transcendentiebewijzen berusten in wezen op deze eigenschappen en kunnen dan worden teruggebracht op de constatering, dat een positief getal niet enerzijds willekeurig klein kan worden gemaakt en anderzijds geheel zou zijn en dus minstens gelijk aan 1. Een andere groep van belangwekkende wiskundige problemen be-

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Printen