Discreet of continu - pagina 16

14

J. F. KOKSMA

Cantor 28) er in dit begrip zo uit te breiden, dat ook verzamelingen met oneindig vele objecten met elkaar kunnen worden vergeleken: de verzameling V met objecten a en de verzameling W met objecten b heten „gelijkmachtig" (bedoeld als een andere naam voor „even groot") als een ondubbelzinnig omkeerbare toevoeging tot stand kan worden gebracht tussen de objecten a enerzijds en de objecten b anderzijds. Het evengroot zijn wordt hier dus niet geconstateerd door een telproces, maar op grond van een correspondentierelatie, op dezelfde wijze als we zonder te tellen onmiddellijk mogen veronderstellen, dat er op een college evenveel studenten als collegekaarten aanwezig zijn. Overigens is tellen niets anders dan het vestigen van een dergelijke correspondentie 1 aan 1 en wel tussen de te tellen objecten en een beginstuk van de rij der natuurlijke getallen. Terwijl bij eindige verzamelingen echter de wijze, waarop de correspondentie wordt gevestigd, niet ter zake doet, omdat, zoals we vroeger reeds opmerkten, de zaak steeds klopt, is het bij vergelijking van twee oneindige verzamelingen juist het probleem, een speciale toevoeging te vinden, die het doet. Zet men de beide rijen 1, 2, 3, 4 , . . . . 10, 20, 30, 4 0 , . . . . netjes onder elkaar, dan ziet men dadelijk dat de verzameling V der natuurlijke getallen gelijkmachtig is met de verzameling W der tienvouden, hoewel de laatste toch kennelijk een echt deel der eerste is. Wie dit voorbeeld voor het eerst ontmoet zal na de verrassing, dat hier het geheel niet machtiger blijkt dan het deel,, wellicht zeggen: nu ja, oneindig is oneindig. In deze laatste indruk zal hij worden versterkt, als hem wordt verteld, dat Cantor heeft bewezen, dat de rechte lijn en het platte vlak, beide opgevat als verzameling hunner punten, gelijkmachtig zijn. Hoe merkwaardig het schijne : de dunne rechte even groot als het volle vlak, men kan zich weer geruststellen : oneindig is oneindig. Anders wordt de zaak in het licht van een derde resultaat: de rij der natuurlijke getallen is niet gelijkmachtig met de rechte lijn, opgevat als puntverzameling. Het bewijs dezer stelling berust op de voorstelling van de punten der getallenrechte als oneindig voortlopende decimale breuken: bij iedere genummerde rij van zulke breuken zijn steeds breuken aan te wijzen, die niet in de rij voorkomen. Daar de getallenrij 1, 2, 3 , . . . . gelijkmachtig is met een deelverzameling der getallenrechte, is de uitspraak gerechtvaardigd: de machtigheid A van de rij der natuurlijke getallen (de „aftelbare machtigheid") is kleiner

Deze tekst is geautomatiseerd gemaakt en kan nog fouten bevatten. Digibron werkt voortdurend aan correctie. Klik voor het origineel door naar de pdf. Voor opmerkingen, vragen, informatie: contact.

Op Digibron -en alle daarin opgenomen content- is het databankrecht van toepassing. Gebruiksvoorwaarden. Data protection law applies to Digibron and the content of this database. Terms of use.

Terug naar resultaten Printen